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理解矩阵的正定性与半正定性

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2019/10/02 Share

定义

若矩阵 $M$ 满足

其中 $x$ 是向量,则 $M$ 是半正定的。

几何意义

在矩阵变换中,$Mx$ 代表对向量 $x$ 进行变换,我们假设变换后的向量为 $y$ ,记做 $y=Mx$ ,则根据上述定义,有

由两个向量的内积计算公式可推导出

若矩阵为半正定,则可推导出

因此,正定与半正定矩阵的几何意义是:一个向量经过矩阵的变化后,得到新的向量,这个新向量与原来的向量的夹角小于等于 90 度

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  1. 1. 定义
  2. 2. 几何意义